Как рассчитать уклон/градиент? «Подъем над прогоном» в науках о Земле
Многие из нас знают, что наклон линии рассчитывается «подъемом над прогоном». Однако применение расчета уклона может показаться несколько более сложным. В науках о земле вас могут попросить рассчитать уклон холма или определить скорость путем вычисления наклона линии на графике. Эта страница предназначена для того, чтобы помочь вам освоить эти навыки, чтобы вы могли использовать их в своих курсах по наукам о Земле.
Зачем мне вычислять наклон или градиент?
В геолого-геофизических исследованиях склон может играть важную роль в решении ряда задач. Наклон холма может помочь определить степень эрозии, вероятной во время ливня. Градиент уровня грунтовых вод может помочь нам понять, может ли (и в какой степени) загрязнение повлиять на местный колодец или источник воды.
Как рассчитать наклон (или градиент) в науках о Земле?
Градиент в случае склона холма и уровня грунтовых вод аналогичен расчету наклона линии на графике — «подъем» над «пробегом».
Но как это сделать с помощью контурной (или топографической) карты?
- Сначала освойтесь с функциями интересующей вас топографической карты. Убедитесь, что вы знаете несколько вещей:
- Что такое контурный интервал (иногда сокращенно КИ)?
- Каков масштаб карты?
- Для какого объекта вы хотите узнать наклон?
-
Интервал контура сообщает вам «подъем», в частности изменение высоты между каждой из «коричневых линий» (контуров).
В этом случае контурный интервал находится в ключе справа внизу и обозначается аббревиатурой КИ. Интервал контура составляет 20 футов - Каков масштаб карты?
Шкала показывает «пробег» или расстояние на земле. На этой карте он также показан в правом нижнем углу и показан только графически. Если вы распечатаете карту (с шагами для расчета уклона) (Acrobat (PDF) 93kB Oct15 08), вы обнаружите, что 1 дюйм = 1 миля. - Для какого объекта вы хотите узнать наклон?
В этом случае вы хотите узнать уклон склона холма к ЗСЗ от вершины (на 869м) до ручья.
- Во-первых, вам нужно знать «подъем» для функции. «Подъем» — это разница высот сверху вниз (см. изображение выше). Так определите высоту вершины холма (или склона, или уровня грунтовых вод). Покажите мне подъем для примера задачи выше Скрыть
Вершина интересующего вас холма составляет 859 футов.
Контурная линия у ручья, где заканчивается ваш путь, находится ниже 700 футов. Это составляет 680 футов (поскольку интервал контура составляет 20 футов). Разница высот равна верху минус низ (859футов — 680 футов), поэтому «подъем» = 179 футов - Далее вам нужно знать «бег» для этой функции. «Прогон» — это горизонтальное расстояние от самой высокой отметки до самой низкой. Итак, возьмите линейку и измерьте это расстояние. Зная масштаб, можно рассчитать расстояние. В большинстве случаев расстояние на картах указывается в км или милях. Покажите мне выполнение примера задачи выше
Красная линия показывает расстояние вдоль склона холма, где вы хотите построить свой путь. Красная линия в два раза длиннее шкалы одной мили (на печатной карте она составляет около 2 дюймов). Таким образом, расстояние от вершины холма до подножия или «бег» = 2 мили
- Теперь идет подъем над беговой частью. Есть два способа, которыми вас могут попросить сделать расчеты, относящиеся к уклону. Убедитесь, что вы знаете, о чем вас спрашивают, и выполните шаги, связанные с соответствующим процессом:
В этом случае контурный интервал находится в ключе справа внизу и обозначается аббревиатурой КИ. Интервал контура составляет 20 футов 
Контурная линия у ручья, где заканчивается ваш путь, находится ниже 700 футов. Это составляет 680 футов (поскольку интервал контура составляет 20 футов). Разница высот равна верху минус низ (859футов — 680 футов), поэтому «подъем» = 179 футов 
Убедитесь, что вы знаете, о чем вас спрашивают, и выполните шаги, связанные с соответствующим процессом:Как использовать формулу наклона и найти наклон линии, независимо от того, является ли наклон положительным, отрицательным или неопределенным.
Рабочий лист по наклону линии
Апплет наклона (html5)
Калькулятор формулы уклона (Бесплатный онлайн-инструмент вычисляет уклон по 2 точкам)
Наклон линии характеризует направление линии. Чтобы найти наклон, вы делите разницу координат y двух точек на прямой на разницу координат x тех же двух точек.
Разные слова, та же формула
Учителя используют разные слова для координат y и координат x.
- Некоторые называют координаты у подъемом, а координатами х — бег.
- Другие предпочитают использовать нотацию $$\Delta$$ и называть y-координаты $$\Delta y$$ , а x-координаты $$\Delta x$$ .
Все эти слова означают то же самое, что и , то есть значения y находятся вверху формулы (числитель), а значения x внизу формулы (знаменатель)!
Пример 1
Помните: разница в значениях y идет в числителе формулы, а разница в значениях x идет в знаменателе формулы.
Может ли любая из точек быть $$( x_1 , y_1 ) $$ ?
Есть только один способ узнать!
Во-первых, мы будем использовать точку (1, 2) как $$x_1, y_1$$, и, как вы можете видеть: наклон: $ \boxed {\frac{1}{3} }$ .
Теперь давайте используем точку (4, 3) как $$x_1, y_1$$, и, как вы можете видеть, наклон упрощается до того же значения: $ \boxed {\frac{1}{3} }$ .
Работа рядом
точка (4, 3) как $$ (x_1, y_1 )$$
Наклон $$ = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{3-2}{4-1} = \frac{1}{3} $$
точка (1, 2) как $$ (x_1, y_1 )$$
Наклон $$ = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{2-3}{1-4} = \frac{-1}{- 3} = \frac{1}{3} $$
Ответ: , а не не имеет значения, какую точку поставить первой. Вы можете начать с (4, 3) или с (1, 2), и в любом случае вы закончите точно таким же числом! $$ \фракция{1}{3} $$
Пример 2 наклона линии А
Наклон 
- Формула
- Пример
- Видео
- Заказать?
- Любые две точки определяют наклон линии?
- Наклон вертикальной линии
- Наклон горизонтальной линии
- Практические задачи
Наклон вертикальных и горизонтальных линий
Наклон вертикальной линии не определен
Это связано с тем, что любая вертикальная линия имеет $$\Delta x$$ или «пробег» нуля. Всякий раз, когда ноль является знаменателем дроби в этом случае дроби, представляющей наклон линии, дробь не определена.
На рисунке ниже показана вертикальная линия (x = 1).Наклон горизонтальной линии равен нулю
Это потому, что любая горизонтальная линия имеет $$\Delta y$$ или «подъем» нуля. Следовательно, независимо от того, каков пробег (при условии, что он не равен нулю!), дробь, представляющая уклон, имеет в числителе ноль. Следовательно, наклон должен оцениваться как нулевой. Ниже приведено изображение горизонтальной линии — вы можете видеть, что у нее нет «подъема».
Любые две точки на прямой имеют одинаковый наклон?
Каждая линия имеет постоянный наклон. Другими словами, наклон линии никогда не меняется.
Эта фундаментальная идея означает, что вы можете выбрать любых 2 точек на линии.
Подумайте об идее прямой линии. Если бы наклон линии изменился, то это была бы зигзагообразная линия, а не прямая линия, как вы можете видеть на рисунке выше.
Как вы можете видеть ниже, наклон одинаков независимо от того, какие 2 точки вы выбрали.
Наклон линии
Никогда не меняется Эта страница:- Формула
- Пример
- Видео
- Заказать?
- Любые две точки определяют наклон линии?
- Наклон вертикальной линии
- Наклон горизонтальной линии
- Практические задачи
Рабочий лист по наклону линии
Апплет наклона (html5)
Калькулятор формулы уклона (Бесплатный онлайн-инструмент вычисляет уклон по 2 точкам)
Практика ПроблемыПроблема 1
Каков наклон прямой, проходящей через точки (10,3) и (7, 9)?
$ \frac{rise}{run}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
Используя $$ \red{ (10,3)}$$ как $$x_1, y_1$$
$ \frac{9- \red 3}{7- \red{10}} \\ = \frac{6}{-3} \\ = \ в коробке {-2 } $
Используя $$ \red{ (7,9)} $$ как $$x_1, y_1$$$ \frac{3- \red 9{10- \красное 7} \\ =\ гидроразрыв{-6}{3} \\ = \в коробке{-2} $
Проблема 2
Прямая проходит через (4, -2) и (4, 3).
$ \frac{rise}{run}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
Используя $$ \red{ ( 4,3 )}$$ как $$x_1, y_1$$
$ = \frac{-2 — \red 3}{4- \red 4} «=» \frac{-5}{\color{red}{0}} \\ = \text{неопределенный} $
Используя $$ \red{ ( 4, -2 )}$$ как $$x_1, y_1$$$ = \frac{3- \red{-2}}{4- \red 4} «=» \frac{5}{\color{red}{0}} \\ = \текст{неопределенный} $
Всякий раз, когда длина линии равна нулю, наклон не определен. Это потому, что в знаменателе наклона стоит ноль! Любой наклон любой вертикальной линии не определен.
Проблема 3
Прямая проходит через (2, 10) и (8, 7).
Каков его наклон?
$ \frac{rise}{run}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
Используя $$ \red{ ( 8, 7 )}$$ как $$x_1, y_1$$
$ \frac{10 — \red 7}{2 — \red 8} \\ = \ гидроразрыва {3}{-6} \\ = -\фракция{1}{2} $
Используя $$ \red{ ( 2,10 )}$$ как $$x_1, y_1$$$ \frac{7 — \red {10}}{8- \red 2} \\ = \ гидроразрыв {-3} {6} \\ = -\фракция{1}{2} $
Проблема 4
Прямая проходит через (7, 3) и (8, 5). Каков его наклон?
$ \frac{rise}{run}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
Используя $$ \red{ (7,3 )}$$ как $$x_1, y_1$$
$$ \frac{ 5- \red 3}{8- \red 7} \\ = \ гидроразрыва {2} {1} \\ = 2 $$
Используя $$ \red{ ( 8,5 )}$$ как $$x_1, y_1$$$$ \frac{ 3- \red 5}{7- \red 8} \\= \фракция{-2}{-1} \\ = 2 $$
Проблема 5
Прямая проходит через (12, 11) и (9, 5) .
Каков его наклон?
$ \frac{rise}{run}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
Используя $$ \red{ ( 5, 9)}$$ как $$x_1, y_1$$
$$ \frac{ 11 — \red 5}{12- \red 9} \\ = \ гидроразрыва {6} {3} \\ =2 $$
Используя $$ \red{ (12, 11 )}$$ как $$x_1, y_1$$$$ \frac{ 5- \red{ 11} }{9- \red { 12}} \\ = \фракция{-6}{-3} \\ = 2$$
Проблема 6
Каков наклон линии, проходящей через (4, 2) и (4, 5)?
$ \frac{rise}{run}= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $
Используя $$ \red{ ( 4,5 )}$$ как $$x_1, y_1$$
$$ \frac{ 2 — \red 5}{4- \red 4} \\ = \frac{-3}{\color{red}{0}} \\ = не определено $$
Используя $$ \red{ ( 4,2 )}$$ как $$x_1, y_1$$$$ \frac{ 5 — \red 2}{4- \red 4} \\ = \frac{ 3}{\color{red}{0}} \\ = не определено $$
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ! Сможете ли вы уловить ошибку в следующей задаче: Дженнифер пыталась найти наклон, проходящий через точки $$(\color{blue}{1},\color{red}{3})$$ и $$ (\color {синий}{2}, \цвет{красный}{6})$$ .
У нее были небольшие проблемы с применением формулы наклона, она пыталась вычислить наклон 3 раза и дала 3 разных ответа. Сможете ли вы определить правильный ответ?
Задача-вызов
Найдите наклон прямой через две точки.
Попытка №1$ наклон = \ гидроразрыв {подъем} {бег} \\= \ frac{\ color {red} {y_ {2} -y_ {1}}} {\ color {blue} {x_ {2} -x_ {1}}} «=» \ гидроразрыв {6-3} {1-2} \\= \фракция{3}{-1} =\в коробке{-3} $
Попытка №2
$$ наклон = \ гидроразрыв {подъем} {бег} \\= \ frac{\ color {red} {y_ {2} -y_ {1}}} {\ color {blue} {x_ {2} -x_ {1}}} «=» \фракция{6-3}{2-1} \\= \фракция{3}{1} \\ = \в коробке{3} $$
Попытка №3
$$ уклон = \ гидроразрыв {подъем} {бег} \\= \ frac{\ color {red} {y_ {2} -y_ {1}}} {\ color {blue} {x_ {2} -x_ {1}}} \\ =\ гидроразрыва {2-1} {6-3} \\ =\в коробке{ \frac{1}{3}} $$
Правильный ответ — попытка №2.
В попытке №1 она не всегда использовала очки. В первой попытке она сделала следующее:
$$ \frac{\color{red}{y{\boxed{_2}}-y_{1}}}{\color{blue}{x\boxed{_{1}}-x_{2}}} $$
Проблема с попыткой №3 заключалась в обратном подъеме и беге. Она поместила значения x в числитель (сверху), а значения y в знаменатель, что, конечно же, противоположно!
$$ \ отмена {\ frac {\ color {синий} {x_ {2} -x_ {1}}} {\ color {red} {y_ {2} -y_ {1}}}} $$
Тренировка склонов Генератор проблем Вы можете сколько угодно практиковаться в решении подобных задач с помощью приведенного ниже генератора задач на уклон.